Школьная астрономия Петербургa

Решение:  Линия, соединяющая две точки на поверхности сферы по кратчайшему расстоянию - дуга окружности, образованной при сечении сферы плоскостью, проходящей через центр сферы (т.н. "ортодрома"). Если рассмотреть две точки, лежащие в Северном полушарии Земли на одной широте (широта Петербурга с.ш., она примерно совпадает с широтой Сургута), то ортодрома, соединяющая эти две точки, не будет совпадать с географической параллелью и пройдет севернее ее. Таким образом, самолет, летящий по кратчайшему расстоянию, в течение первой половины пути будет смещаться к северу, а затем, наоборот, к югу. Так как высота подъема Солнца над горизонтом в Северном полушарии в один и тот же момент времени на одном меридиане уменьшается с увеличением широты, то при перемещении самолета к северу высота Солнца должна уменьшаться, а при перемещении к югу - увеличиваться. Однако дело происходит утром, и высота Солнца над горизонтом должна систематически увеличиваться на всех широтах. Почему же в начале пути этого не наблюдалось? Ответ таков: Сургут находится восточнее Петербурга, поэтому самолет, движущийся на запад, может "компенсировать" вращение Земли. Именно это и произошло, поскольку разница между местными временами вылета и посадки достаточно мала, она существенно меньше, чем время, которое самолет провел в пути.

Решение: Поделим 365 и 366 на 7 с остатком. Получим остатки, равные, соответственно, 1 и 2. Это означает, что если понедельник 1 января был в високосном году, то следующее 1 января будет средой, а если в невисокосном - вторником. Тогда каждые четыре года 1 января будет смещаться на 5 дней недели вперед и очевидно, что сдвиг на 7 дней недели может произойти не менее чем за 5 лет (в течение которых должно быть два високосных года). Первый ответ получен, возможный минимум - 5 лет.

Второй ответ получить сложнее. Ясно, что продолжительность цикла без понедельников увеличится в том случае, если в цикле будет високосный год, начинающийся в воскресенье (назовем его "опорным") - тогда следующий начнется во вторник. Отсчитывая дни недели 1 января от этого опорного года вперед и назад, получим такую последовательность дней 1 января: понедельник, вторник (високосный), четверг, пятница, суббота, воскресенье (високосный, опорный), вторник, среда, четверг, пятница (високосный), воскресенье, понедельник. Получается последовательность длиной в 11 лет. Сделать так, чтобы в ней два високосных года начинались на воскресенье, уже не удастся - числа 4 (цикл високосных годов) и 7 (цикл дней недели) взаимно просты, поэтому такие года отстоят друг от друга на 28 лет.

Тем не менее улучшить этот результат все же можно. Дело в том, что некоторые года, номера которых делятся на 4, в григорианском календаре не являются високосными. Это года, номера которых делятся на 100 и не делятся на 400 (за всю историю григорианского календаря таких было три - 1700, 1800,1900).
Если номер нашего опорного года заканчивался на ...96 и следующий за ним високосный год появлялся только через 8 лет (годятся такие варианты: 1696, 1796, 1896), то конец предыдущей последовательности "пятница (високосный), воскресенье, понедельник" превратится в такой: "пятница (невисокосный, номер заканчивается на два нуля), суббота,  воскресенье, понедельник". Последовательность удлиняется на один год и ее длина достигает 12 лет.

Аналогичной будет и ситуация, когда опорный год заканчивается на ...04 - в этом случае последовательность также удлиняется на один год, только спереди. Но так как удлинить ее с двух сторон сразу невозможно, то максимально возможная продолжительность остается равной 12 годам.

Решение:  Как известно, Земля вращается вокруг Солнца против часовой стрелки (если смотреть со стороны северного полюса эклиптики). Отсюда следует, что в тот момент, когда Луна находится в последней четверти, Земля движется по орбите в ее сторону, а частицы метеорного потока, радиант которого находится рядом с Луной, движутся навстречу Земле. Если же Луна находится в первой четверти, то, наоборот, орбитальная скорость Земли направлена в сторону, противоположную Луне, и частицы соответствующего метеорного потока догоняют Землю. Тогда в случае, когда Луна находится в последней четверти, скорость движения метеорных частиц относительно Земли в среднем больше, количество метеоров, влетающих в атмосферу Земли за единицу времени, также больше, поэтому при этой фазе Луны любитель астрономии наблюдал максимальное количество метеоров. В случае, когда Луна находилась в первой четверти, количество наблюдаемых метеоров, наоборот, было минимальным. В случае, когда Луна в полнолунии, скорость метеорных частиц за счет скорости Земли изменяется мало, и количество наблюдаемых метеоров должно быть некоторым средним. Наконец, в новолунии метеоры практически не видны - такие метеорные потоки пришлось бы наблюдать днем.

Решение:  Время начала покрытия или "открытия" звезды определяется угловой скоростью Луны. Известно, что период обращения Луны примерно равен месяцу, оценим его как 30 суток. Определив суточное перемещение Луны по небесной сфере ( за 30 суток), получим /сутки. Тогда за 2 часа Луна перемещается на , перемещение Луны на происходит за 2 минуты, на - за 2 секунды, а на - за секунды. Для того, чтобы измерить интервал времени между началом и концом пересечения диском звезды границы диска Луны, нужно использовать камеру, делающую как минимум снимков в секунду. Следовательно, с подобным техническим оснащением эту задачу решить нельзя.

Решение:  Радиус Земли примерно равен км, поэтому астероид пролетел на расстоянии, равном 10 радиусам Земли. Немного упростим задачу - будем считать, что астероид пересекал прямую, соединяющую наблюдателя и Луну, перпендикулярно. Тогда путь , пройденный астероидом на фоне диска Луны, относится к расстоянию до него так же, как диаметр Луны к расстоянию до нее. Отсюда (если выразить все величины в радиусах Земли)
и пройденный путь радиуса Земли. Выразив его в километрах, получим км. Теперь вспомним, что астероид двигался под углом к прямой. Так как расстояние между Землей и Луной намного больше 530 км, то можно считать, что за счет этого путь астероида на фоне диска Луны увеличился в раза. В итоге получаем путь, равный км. Так как астероид двигался со скоростью 20 км/с, время пересечения окажется равным с.