Задачи и решения (11 класс)

1. Каков бы был период обращения Юпитера относительно Солнца, если бы масса Солнца была в 10 раз больше, чем на самом деле? Считать, что радиус орбиты Юпитера не меняется и равен $5.2$ а.е. Решение: Для решения этой задачи следует воспользоваться так называемым "обобщенным" III законом Кеплера: $\displaystyle \frac{a^3}{P^2} = \frac{G \Msol}{4 \pi^2},$ где $P$ - период обращения планеты, $a$ - радиус (а точнее, большая полуось) ее орбиты, $\Msol$ - масса Солнца, $G$ - гравитационная постоянная. Отсюда получаем $\displaystyle P = \sqrt{\frac{4 \pi^2 a^3}{G \Msol}}$ откуда следует, что при неизменном радиусе орбиты $P$ обратно пропорционален $\sqrt{\Msol}$ . Таким образом искомый период был бы в $\sqrt{10}$ раз меньше, чем на самом деле. Настоящий период обращения Юпитера можно определить из "простого" III закона Кеплера, сравнив орбиту Юпитера с орбитой Земли: $\displaystyle \frac{P^2}{P_\oplus^2} = \frac{a^3}{a_\oplus^3},$ где $P_\oplus = 1$ год - период обращения Земли, а $a_\oplus = 1$ а.е. - радиус ее орбиты. Отсюда $P = \sqrt{a^3} = \sqrt{5.2^3} \approx 12$ лет. Получаем, что искомый период был бы равен $\frac{12}{\sqrt{10}} \approx 4$ года. 2. Могут ли какие-либо галилеевы спутники Юпитера при наблюдении с Юпитера находиться в "полнолунии"? Радиусы орбит спутников (в радиусах Юпитера) составляют: Ио - $5.9$ , Европа - $9.4$ , Ганимед - $15$ , Каллисто - $26$ . Решение: Вспомним, что наклон орбит галилеевых спутников Юпитера к плоскости эклиптики практически нулевой. Тогда вопрос состоит в том, попадут ли спутники при приближении к фазе "полнолуния" в тень Юпитера или нет. Очевидно, что шансы не попасть в тень выше всего у наиболее далекого спутника - Каллисто. Угловой диаметр Юпитера при наблюдении с Каллисто можно легко оценить, он составит $2/26$ радиана, т.е. примерно $4^\circ$ . Так как угловой размер диска Солнца при наблюдении с орбиты Юпитера намного меньше - около $6'$ (можно вспомнить, что угловой размер диска Солнца при наблюдении с Земли примерно равен $30'$ , а Юпитер находится в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля), то это означает, что даже Каллисто (а, следовательно, и все остальные галилеевы спутники тоже) окажутся глубоко в тени Юпитера. 3. Почему в веществе самых старых звезд Галактики очень мало тяжелых элементов, а в веществе самых молодых, наоборот, их содержание относительно велико? Решение: Самые старые звезды образовались из бедного тяжелыми элементами протогалактического газового облака. Массивные звезды, быстро эволюционируя, взрывались и обогащали межзвездную среду образовавшимися в них тяжелыми элементами. Следующие поколения звезд образовывались из вещества с большим содержанием тяжелых элементов. 4. Может ли искусственный спутник иметь такую орбиту, чтобы его трасса проходила бы только над следующими частями света: a) над Европой? b) над Африкой? c) и над Европой, и над Африкой? Решение: Проще всего ответить на вопрос b) - так как через Африку проходит экватор, то геостационарный спутник будет искомым. Подходящими для двух остальных вопросов спутниками могут быть только суточные спутники (с периодом обращения, равным суткам), в противном случае орбита спутника будет перемещаться по долготе из-за вращения Земли, и такой спутник рано или поздно пролетит, например, над Америкой. Орбита суточного спутника с некоторым наклоном, меньшим $90^\circ$ , будет представлять собой "восьмерку" с центром на экваторе, крайние точки которой будут иметь широту, равную наклону орбиты. Можно подобрать наклон таким образом, чтобы спутник пролетал над Европой (при этом наклон должен быть больше $38^\circ$ - это широта самой южной точки Европы) и не пролетал над Антарктидой (наклон должен быть меньше $63^\circ$ - широты самой северной точки Антарктиды). Реально нижняя граница наклона больше - при малом наклоне одна из петель "восьмерки" может зацепить Азию. Однако при этом не удастся сделать так, чтобы спутник не пролетал над Африкой, поэтому ответ на вопрос c) - может, это должен быть суточный спутник с наклоном около $60^\circ$ ; ответ на вопрос a) - не может. Примечание: естественно, в решении не требовалось указывать предельные значения наклонов орбит спутников. 5. Десять солнцеподобных звезд свалили в кучу и сделали одну белую звезду главной последовательности. Как изменилась светимость такой звезды, если ее средняя плотность в три раза меньше солнечной? Решение: Светимость звезды ( $L=4\pi R^2 \sigma T^4$ ) определяется температурой и площадью поверхности звезды. Звезда белая, т.е. ее температура около $10^4$ К. Она в $1.7$ раза больше температуры Солнца ( $6 \cdot 10^3$ К), и за счет изменения температуры светимость увеличилась в $(1.7)^4 \approx 8$ раз. Так как масса звезды стала в 10 раз больше, а плотность в 3 раза меньше, то объем звезды увеличился в 30 раз. Поскольку объем пропорционален кубу радиуса, то радиус новой звезды в $\sqrt[3]{30}$ раз больше старого радиуса, а площадь поверхности, следовательно, в $(30)^{2/3} \approx 10$ раз больше прежней. Таким образом, суммарная светимость новой звезды возросла в $\approx 80$ раз.

Оставил andromeda 20 Dec 2008 в 23:29.

2 задача

"Очевидно, что шансы не попасть в тень выше всего у наиболее далекого спутника - Каллисто."
Дайте пожалуйста пояснения этого факта...

Оставил М.В.Костина 21 Dec 2008 в 11:00.

Тень планеты

Тень планеты представляет собой конус, основание которого - сечение планеты, центр которого совпадает с центром планеты, и перпендикулярное плоскости орбиты планеты. Чем дальше спутник от планеты, тем в более узкую область тени планеты он попадает. Если спутник очень далеко, то у него есть шанс совсем не попасть в тень. Так что проверку в данной задаче целесоообразно начинать с самого далекого спутника. Совет: посмотрите в решениях 5-6 классов рисунок с лунным затмением, обратите внимание на форму тени и представьте спутник на разных расстояниях от планеты.

Школьная астрономия Петербургa